从数学期望到成功概率

陈先生最近在 Meta 的一次 team offsite 上，和一位刚从 Wharton MBA 毕业的同事聊起了投资话题。陈先生问了一个他认为很简单的问题："你觉得我应该把钱放在什么资产里，才能获得最高回报？"

那位同事笑了笑，反问道："你问的是错误的问题。正确的问题是 -- 你需要达到什么目标，以及用什么配置达到那个目标的概率最高？"

这句话彻底改变了陈先生的投资思维框架。而这一章，正是要带你完成同样的认知升级。

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一、传统思维的致命缺陷

"最高回报"的陷阱

陈先生，34岁，Meta E5 级别工程师，Total Compensation 约 $420K，净资产 $1.8M。他的财务目标很明确：10年后需要 $300,000 用于两个孩子的大学教育基金。

和大多数高薪华人科技工作者一样，陈先生的直觉告诉他：既然需要钱增长，那就应该选回报率最高的投资方式。 股票的历史平均回报率是 9.8%/年，远高于债券的 4%/年，所以答案很明显 -- 100% 投入股票。

这个逻辑在数学上看似无懈可击。但它犯了一个根本性错误：它优化的是数学期望值（Expected Value），而不是成功概率（Success Probability）。

一个让直觉崩塌的例子

想象两个投资方案：

• 方案A： 50%的概率赚 $800,000，50%的概率亏 $100,000
• 方案B： 90%的概率赚 $350,000，10%的概率只赚 $50,000

两者的数学期望值：

• 方案A期望值 = 0.5 x $800,000 + 0.5 x (-$100,000) = $350,000
• 方案B期望值 = 0.9 x $350,000 + 0.1 x $50,000 = $320,000

如果你只看期望值，方案A显然更好，高了$30,000。

但如果你的目标是 $300,000 -- 比如陈先生的大学教育基金 -- 那么：

• 方案A达到目标的概率 = 50%
• 方案B达到目标的概率 = 90%

你愿意用"平均多赚$30,000"来交换"失败概率从10%飙升到50%"吗？

当这笔钱关系到你孩子能否上大学时，答案显而易见。这就是为什么我们需要从最大化回报的思维，转向最大化成功概率的思维。

维度	传统思维：最大化回报	新框架：最大化成功概率
核心问题	哪种投资回报最高？	哪种配置最可能达到我的目标？
优化目标	数学期望值（Expected Value）	特定目标的达成概率
对风险的态度	风险是获取更高回报的代价	风险是降低目标达成概率的威胁
时间维度	模糊的「长期」	明确的目标时间点
资产配置逻辑	年轻就应该100%股票	根据目标金额、时间、现有资金动态调整
成功标准	赚得越多越好	目标金额在目标时间内以高概率达成
情绪影响	市场下跌时极度焦虑	只要概率在合理范围内就安心

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二、股市的真实概率分布

在建立成功概率框架之前，我们需要先理解一个基础事实：股票市场的回报不是确定的，它是一个概率分布。

历史数据告诉我们什么？

很多人说"股票的平均年回报率是 9.8%"时，心里默认的画面是：每年都赚 9.8%，像存银行一样稳定增长。但现实远非如此。

根据1926年至2024年的 S&P 500 数据（含股息再投资）：

让我们拆解这些数字的含义：

平均回报 9.8%，标准差 15.5% 意味着在任何一个给定年份：

• 约68%的概率，你的回报落在 -5.7% 到 +25.3% 之间（均值 +/- 1个标准差）
• 约95%的概率，你的回报落在 -21.2% 到 +40.8% 之间（均值 +/- 2个标准差）
• 仍有约5%的概率，你的回报会更极端 -- 包括在单一年份亏损超过20%

时间是概率的朋友 -- 但没你想的那么友好

一个广泛流传的投资信条是："只要持有时间足够长，股票一定赚钱。" 这在历史上大体正确 -- S&P 500 的10年滚动正回报概率确实高达 94%。但这里有两个容易被忽略的问题。

第一，94% 不是 100%。 在98年的历史中，仍然存在多个10年期间（如1929-1939、1999-2009），投资者在10年后的购买力反而下降了。如果你恰好在这些窗口期需要用钱，"长期持有"无法保护你。

第二，即使最终结果为正，过程中的波动可能摧毁你的计划。 如果陈先生在第8年遭遇了一次40%的市场崩盘，即使市场在第10年完全恢复，他的心理承受能力和实际资金需求可能无法等到那一天。

不同持有期的回报分布

为了帮助陈先生理解时间维度的影响，我们来看 Vanguard 基于1926-2024年美国市场数据整理的历史回报分布：

持有期	最佳回报	最差回报	正回报概率	跑赢通胀概率
1年	+54.2%	-43.1%	73%	67%
5年（年化）	+28.6%	-12.5%	87%	80%
10年（年化）	+19.4%	-4.1%	94%	88%
15年（年化）	+18.9%	-0.6%	99.7%	95%
20年（年化）	+17.9%	+1.0%	100%	100%

这张表揭示了一个重要真相：虽然20年以上的持有期从未产生负回报，但10年的窗口期仍然存在实质性风险。 陈先生的大学教育基金恰好是10年期 -- 这意味着他不能简单假设"时间会解决一切"。

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三、蒙特卡洛模拟：从单一情景到概率分布

什么是蒙特卡洛模拟？

传统的投资计算通常假设一个固定的回报率 -- 比如"假设股票每年涨 9.8%"，然后用复利公式算出10年后有多少钱。这种单一情景分析（Single Scenario Analysis）的问题在于，它完全忽视了不确定性。

蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）采取了完全不同的方法。它不预测一个单一结果，而是模拟数千种可能的未来路径，每条路径中每个时期的回报率都是从历史概率分布中随机抽取的。通过汇总这些路径的结果，我们可以得到一个完整的结果概率分布。

蒙特卡洛模拟的基本步骤

1. 定义参数： 投资目标金额、时间范围、每月投入金额、资产配置比例
2. 确定每类资产的回报分布： 基于历史数据，确定均值和标准差（以及可能的偏度和峰度）
3. 随机模拟： 运行数千次（通常10,000次）模拟，每次为每个月随机生成一个回报率
4. 统计结果： 计算在所有模拟路径中，有多少比例达到了目标金额
5. 输出成功概率： 成功路径数 / 总路径数 = 成功概率

陈先生的具体模拟

让我们用陈先生的实际情况来做一次蒙特卡洛模拟。

陈先生的参数：

• 目标金额：$300,000（两个孩子的大学教育基金）
• 时间范围：10年
• 每月投入：$1,500（约占税后收入的 7%，完全可行）
• 现有教育基金储蓄：$0（从零开始）

不同资产配置下的模拟结果：

资产配置	年化预期回报	年化波动率	10年预期终值	成功概率（达到$300K）
100% 股票	9.8%	15.5%	$310,000	52%
80% 股票 / 20% 债券	9.1%	12.4%	$292,000	49%
60% 股票 / 40% 债券	8.3%	9.8%	$273,000	43%
40% 股票 / 60% 债券	7.4%	7.8%	$254,000	35%
100% 债券	4.0%	5.5%	$222,000	12%

这个结果引出了一个核心洞察：当你的目标金额相对于你的投入金额较高时，提高月供金额比调整资产配置更有效。

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四、成功概率的三个杠杆

蒙特卡洛模拟揭示了影响成功概率的三个核心变量。理解它们之间的关系，是建立概率思维框架的关键。

杠杆一：月供金额

这是最直接、最可控的杠杆。让我们看看陈先生增加月供会发生什么（保持60/40配置）：

每月投入	10年总投入	预期终值（60/40）	成功概率（达到$300K）
$1,000	$120,000	$182,000	15%
$1,500	$180,000	$273,000	43%
$2,000	$240,000	$364,000	68%
$2,500	$300,000	$455,000	82%
$3,000	$360,000	$546,000	91%

从$1,500增加到$2,500 -- 每月多投入$1,000 -- 成功概率从43%飙升到82%。对于陈先生 $420K TC 的收入水平来说，每月多拿出$1,000完全可行（约占税前收入的2.9%）。

杠杆二：时间范围

时间是复利的燃料，也是波动性的缓冲。如果陈先生的孩子还很小，他有更多时间：

投资期限	月供$2,000（80/20配置）	成功概率	月供$1,500（80/20配置）	成功概率
5年	$120,000 投入	8%	$90,000 投入	2%
10年	$240,000 投入	72%	$180,000 投入	49%
15年	$360,000 投入	95%	$270,000 投入	86%
20年	$480,000 投入	99%	$360,000 投入	97%

关键观察：从10年延长到15年，成功概率的跃升是最显著的（从49%到86%，或从72%到95%）。这告诉我们，如果有条件，尽早开始投资的价值是巨大的。

杠杆三：资产配置

资产配置是三个杠杆中最微妙的一个。它不是简单的"越多股票越好"。

这组数据传达的信息是：

1. 在股票占比60%以上的配置之间，成功概率的差异相对较小。 80/20和100%股票之间只差3个百分点。
2. 但极端保守的配置（如100%债券）会大幅降低成功概率。 因为4%的年化回报根本无法在合理的月供水平下，在10年内积累到$300,000。
3. 资产配置的真正作用，不是最大化成功概率，而是在维持足够成功概率的前提下，最小化过程中的波动和心理压力。

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五、用模拟器验证你的直觉

现在，让我们把理论付诸实践。下面的交互式模拟器让你亲手调整参数，观察不同配置下的成功概率变化。

试试这些实验：

1. 先用陈先生的默认设置（目标 $300,000，10年，月供 $1,500）看看结果
2. 只调高月供到 $2,500，观察所有配置的概率如何变化
3. 把时间延长到15年，看看结果是否让你惊讶
4. 把目标金额调到 $1,000,000（模拟提前退休场景），看看需要什么条件

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六、陈先生的优化方案

经过一番模拟和思考，陈先生制定了以下方案：

为什么选择 80/20 而不是 100% 股票？

陈先生最终没有选择成功概率最高的100%股票配置，而是选择了80/20。他的理由很实际：

维度	100% 股票	80/20 配置	陈先生的选择
成功概率	约87%	约85%	仅差2%，可接受
最大年度回撤（历史）	-43.1%	-34.5%	80/20的下跌幅度小8.6%
恢复至前高所需时间	平均4.3年	平均3.1年	80/20恢复更快
心理压力指数	极高	高	陈先生承认自己不擅长在暴跌时保持冷静
投资纪律维持难度	需要铁石心肠	相对更容易坚持	坚持10年的计划比优化2%概率更重要

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七、超越简单模拟：现实世界的复杂因素

蒙特卡洛模拟是一个强大的工具，但它有几个重要的局限性需要注意。

1. 胖尾风险（Fat Tail Risk）

标准的蒙特卡洛模拟假设回报率服从正态分布（钟形曲线）。但真实市场的回报分布有"胖尾" -- 极端事件（暴涨或暴跌）发生的频率远高于正态分布的预测。

1987年10月19日的"黑色星期一"，道琼斯指数单日下跌22.6%。在正态分布模型下，这种事件的发生概率大约是每10的50次方年一次 -- 远远超过宇宙的年龄。但它确实发生了。

这意味着我们的模拟可能低估了极端负面结果的概率。在实践中，这支持了我们采用更保守配置的论点。

2. 回报分布的非平稳性

历史回报率不是一成不变的。1926-1965年和1966-2005年的40年间，美国股市的表现差异显著。而且我们使用的历史数据主要来自美国市场 -- 一个在过去100年中表现异常出色的市场。这种"幸存者偏差"可能导致我们高估了未来的回报预期。

Vanguard 的研究团队在2024年的一份报告中指出：考虑到当前的估值水平（CAPE ratio约33，远高于历史均值17），未来10年美国股市的预期年化回报率可能在4-6%之间，而非历史平均的9.8%。

3. 通货膨胀的侵蚀

陈先生的目标是10年后的$300,000。但10年后的$300,000购买力和今天不同。如果年均通胀率为3%，10年后的$300,000约等于今天的$223,000购买力。

更重要的是，大学学费的通胀率远高于一般通胀率。根据 College Board 的数据，过去20年美国大学学费的年均涨幅约为5-6%。这意味着10年后，陈先生可能需要的不是$300,000，而是$400,000甚至更多。

4. 税务影响

蒙特卡洛模拟通常使用税前回报率。但在现实中，投资收益需要缴税。陈先生可以通过以下方式减轻税务影响：

• 529计划： 投资收益完全免联邦税（用于合格教育开支），部分州还提供州税抵扣
• 税务亏损收割（Tax-Loss Harvesting）： 在市场下跌时主动卖出浮亏头寸，产生可抵扣的资本损失
• 资产位置优化（Asset Location）： 将税效率低的资产（如债券）放在税优账户中，税效率高的资产（如指数基金）放在应税账户中

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八、概率框架的实际应用：不只是教育基金

陈先生的大学教育基金只是概率框架的一个应用场景。这个框架可以应用于你所有的财务目标。

应急基金

• 目标金额： 6个月生活开支 = $50,000
• 时间范围： 随时可能需要
• 推荐配置： 100%现金/货币市场基金
• 概率考量： 成功概率必须接近100%，不允许任何波动

房产首付

• 目标金额： $400,000（湾区房产20%首付）
• 时间范围： 3-5年
• 推荐配置： 70%短期债券 + 30%现金
• 概率考量： 因为时间较短，不能承受大幅波动；但也不能完全放弃增长

提前退休（FIRE）

• 目标金额： $2,000,000（按4%法则，支撑$80,000/年开支）
• 时间范围： 15-20年
• 推荐配置： 初期 80/20 → 逐步过渡到 60/40
• 概率考量： 时间范围长，可以承受短期波动；但金额巨大，需要较高的月供

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九、常见误区与心理陷阱

误区一："我看到一篇文章说100%股票长期表现最好"

是的，从1926年到2024年的整体平均来看，100%股票的总回报确实最高。但"长期"可能意味着30年甚至50年 -- 这对你当前的10年教育基金目标毫无帮助。100%股票在长期整体上表现最好，并不意味着它在你特定的目标时间范围内成功概率最高。

误区二："我承受得起风险，因为我收入高"

高收入确实提供了更大的缓冲。但"承受得起风险"和"应该承受更多风险"是两回事。陈先生的$420K TC让他可以在投资组合下跌时不需要被迫卖出 -- 这是一个巨大的优势。但这个优势应该用来选择更合适的配置并坚持到底，而不是用来承担不必要的额外风险。

误区三："我只需要做一次资产配置决策"

资产配置不是一劳永逸的。随着目标日期的临近，你的配置应该逐步变得更保守 -- 这就是滑坡策略（Glide Path）的概念，也是目标日期基金（Target Date Fund）的底层逻辑。

距目标还有	推荐股票比例	核心考量
10年以上	70-90%	充足的时间恢复任何短期损失
7-10年	60-80%	开始关注下行保护
4-7年	40-60%	增长与保护并重
2-4年	20-40%	保护已有收益为主
0-2年	0-20%	几乎全部转入安全资产

误区四："过去的回报可以预测未来"

蒙特卡洛模拟基于历史数据，而历史不会精确重复。前面提到的 CAPE 比率和 Vanguard 的前瞻性回报预测，都提醒我们不能盲目外推历史回报率。使用更保守的回报假设（如7%而非9.8%）来做规划，会让你的方案更加稳健。

误区五："成功概率90%就够安全了"

90%听起来很高，但它意味着10%的失败概率 -- 也就是说，如果有10个"陈先生"做出同样的选择，其中1个人到时候将无法凑齐孩子的大学学费。你愿意做那个1/10吗？

对于不可妥协的目标（如教育基金、退休金），建议将成功概率设定在85-95%；对于可以调整的目标（如房产升级、奢侈旅行），60-80%的成功概率可能就足够了。

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十、从概率框架到行动清单

经过这一章的学习，让我们把概率框架转化为具体的行动步骤。

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十一、本章总结与下一章预告

这一章的核心信息可以浓缩为一句话：不要问"什么投资回报最高"，要问"什么方案最可能让我在需要钱的时候有足够的钱"。

这个思维转变看似简单，但它从根本上改变了你做财务决策的方式。你不再是在赌场里追求最大赢面的赌徒，而是一个工程师 -- 用数据、概率和系统化的方法，构建一个高确定性的未来。

对于陈先生来说，这意味着放下对"最优配置"的执念，接受一个"足够好"的方案，然后把省下来的精力放在更重要的事情上 -- 比如陪孩子成长，比如在 Meta 做出有影响力的项目，比如享受在美国的生活。

在下一章《目标导向的规划方法》中，我们将进一步深入，讨论如何将概率框架与具体的金融工具（529计划、Roth IRA、Backdoor Roth、Taxable Brokerage Account）结合起来，为每一个财务目标配置最合适的账户类型和投资工具。